Таблицы Брадиса

Один последовательное раскрытие скобок.

Один последовательное раскрытие скобок.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

п-1           9 п п-1 п-1

Задача 8. Докажите, что = Ск.

Решение. Докажем индукцией по п следующую последовательность утверждений Ап: «Для любого целого к, такого что 0 ^ к ^ п, выпол­нено равенство ^к) = С^.»

База индукции очевидна.

~0~                           Шаг индукции. Пусть утверждение Ап верно. Докажем утвержде-                           -(ЦЦ)-

ние Ап+1. Если к е {0, п + 1}, то                   = 1 = С^+1. Иначе                 =

= ( п ) + ( к п 0 = Ск + Ск-1 = С^+1. Первое равенство выполнено в си­лу определения треугольника Паскаля, второе —по предположению индукции, а третье — по задаче 7 б). Утверждение задачи доказано.

Задача 9. Раскройте скобки в выражении: а) (а + Ъ)3; б) (а + Ь)4;

в) (2а + 3Ь)4.

Есть разные способы раскрытия скобок. Один — последователь­ное раскрытие скобок. Другой: выписываем все скобки, после чего пишем сумму произведений вида «по одному сомножителю из каждой скобки».

Решение. а) (а + Ъ)3 = (а + Ъ)(а + Ъ)(а + Ъ) = (а2 + аЪ + Ъа + Ъ2)(а + Ъ) =

= (а2 + 2аЪ + Ъ2) (а + Ъ) = а3 + а2Ъ + 2а2Ъ + 2аЪ2 + аЪ2 + Ъ3 = а3 + 3а2Ъ +

+ 3аЪ2 + Ъ3.

б)  (а + Ъ)4 = (а + Ъ)3(а + Ъ) = (а3 + 3а2Ъ + 3аЪ2 + Ъ3)(а + Ъ) = а4 +

+ а3Ъ + 3а3Ъ + 3а2 Ъ2 + 3а2Ъ2 + 3аЪ3 + аЪ3 + Ъ4 = а4 + 4а3Ъ + 6а2 Ъ2 +

+ 4аЪ3 + Ъ4.

в)  (2a + 3b)4 = (2a)4 + 4(2a)3 ■ 3b + 6(2a)2(3b)2 + 4 ■ 2a(3b)3 + + (3b)4 = 16a4 + 96a3b + 216a2b2 + 216ab3 + 81b4.

Решение 2. а) (a + b)3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3.

б)   (a + b)4 = aaaa + aaab + aaba + aabb + abaa + abab + abba + + abbb + baaa + baab + baba + babb + bbaa + bbab + bbba + bbbb = a4 + + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4.

Задача 10 (бином Ньютона). а) Раскройте скобки в выражениях (a + b), (a + b)2, (a + b)3, (a + b)4 и выпишите результаты друг под другом. Заметьте, что коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

б) Докажите, что

(a + b)n = ( n )a" + ( n )a"-1 b + ( ^ )an-2b2 + ... + ( ^ )b".

Указание. б) В каком количестве слагаемых при раскрытии скобок в произведении (a + b)...(a + b) получается член an-kbk?