Таблицы Брадиса

Отсюда, воспользовавшись леммой как именно?

Отсюда, воспользовавшись леммой как именно?

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

б)  Очевидно следует из предыдущего пункта: надо просто сгруп­пировать одинаковые сомножители.

в) Основная трудность этой задачи состоит в доказательстве сле­дующей леммы: если аЪ . с, где с — простое, то либо а . с, либо Ъ . с.

160                  Целые числа 1 Делимость целых чисел

Эту лемму мы докажем в следующем листочке (см. задачи 16 и 17 следующего листка). А пока будем считать, что мы ее доказали.

Предположим, что у нас есть два разных разложения на простые: х = р“1 р22...р“п и х = ^. Запишем тождество х = х в следу­ющем виде: (Р1 ■ ... ■ рх).(рп ■... ■ рп) = (дх ■ ... ■ дх) — (дп • ... ■ дп). Поде­лим обе части выражения на рх. Так как левая часть равенства делится на р1, то делится и правая часть. Отсюда, воспользовавшись леммой (как именно?), мы получаем, что одно из чисел д делится на р1. А так как все д простые, то отсюда следует, что = рх для некоторого к Поделим тогда обе части равенства на р1. Получим равенство, в кото­ром в левой и правой частях будет на один сомножитель меньше. Если предположить, что разложения у нас были разные, то, продолжая этот процесс, получим в итоге 1 с одной стороны и произведение каких-то чисел, больших единицы, с другой. Противоречие.

г) Если все а{ четны, то х = р“1 р“2... р“п = (р“1/2 р^2--- рП"/2)2.

Задача 17. Разложите на простые множители числа 1024, 57, 84, 91, 391, 101, 1000, 1001, 1543.

Ответ. 1024 = 210, 57 = 3 ■ 19, 84 = 3 ■ 22 ■ 7, 91 = 7 ■ 13, 391 = 17 ■ 23, 101 — простое, 1000 = 23 ■ 53, 1001 = 11 ■ 13 ■ 7, 1543 — простое.

& В этом листке обсуждаются деление целых чисел с остатком и алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. С помощью этого доказывается ключевая лемма: если произведение делится на простое число, то на него делится один из сомножителей. Эта лемма позволяет завершить доказательство основной теоремы арифметики.