Таблицы Брадиса

Подстановка а такая, что а

Подстановка а такая, что а

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

^                              жеств Б2 и Б3.                                                                                                                                                    м-'

Задача 3. Какие из следующих изображений являются графами под­становок?

а)                       б)                        в)                  г)

 

Задача 4. а) Сколько элементов в множестве Бп?

б)  Сколькими способами можно записать подстановку из п эле­ментов?

Определение 2. Произведением подстановок а, Ь є Бп называется их композиция как отображений: а о Ь. Обозначение: аЬ.

Задача 5. Найдите произведения: а) (3^2) (123); 3) Ц23?) (2143);

в)   3124536л 3642351л . г) 312345л 312345л . _) 3123456л 3123456л

в)    (123456у ^123456^ ; г) ^24531^3512^ ; д) ^56142^^34526^ '

Задача 6. Верно ли, что для любых подстановок а, Ь є Бп выполняется равенство аЬ = Ьа?

30                                  Подстановки 1. Ходим по циклу

Определение 3. Подстановка е = (^2 ”п) называется тождествен­ной.

Задача 7. Докажите следующие утверждения:

а)  для любой подстановки а е Бп ае = еа = а;

б)  для любых подстановок а, Ь, с еБп (аЬ)с = а(Ьс);

в)  для любой подстановки а е Бп существует и при том единствен­ная подстановка Ь е Бп такая, что аЬ = Ьа = е.

Определение 4. Пусть 1 ^ {,) ^ п, { = ). Подстановка а такая, что а(') = }, а(}) = 1, а(к) = к при к = 1, j, называется транспозицией. Обозначение: (ij).

Определение 5. Пусть '1, '2, .,'к — различные элементы множества {1, 2, ”, п}. Подстановка а, сдвигающая элементы '1, '2, ...,'к, то есть такая, что a(ij) = ij+1 для любого j е {1, 2, ..., к — 1}, а('к) = ^ и а (5) = = 5 при $е {'1, '2, ”,'к}, называется циклом длины к. Обозначение: (^ '2..лк). Множество {^, ”,'к} называется носителем цикла, а число к — длиной цикла.