Таблицы Брадиса

Подстановки 1. Ходим по циклу

Подстановки 1. Ходим по циклу

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Осталось понять, сколько из получившихся 720 кубиков можно совместить так, чтобы наклейки совпали. Другими словами, пусть все эти 720 кубиков лежат на столе в том положении, в каком на них были наклеены цифры; если разрешить какой-то из кубиков катать по столу, сколько из имеющихся кубиков мы сможем получить?

Комбинаторика 1

Ясно, что это число равно числу способов повернуть кубик (числу симметрий куба). Эти способы уже нетрудно подсчитать: при пово­роте верхняя грань куба может оказаться в одном из 6 положений (сверху, снизу, слева, справа, спереди, сзади), каждому из которых соответствует ровно 4 поворота (действительно, после того, как место одной из граней куба зафиксировано, единственное, что мы можем делать, — вращать его вокруг проходящей через эту грань оси). То есть всего способов 6 ■ 4 = 24.

 

 

/

____

 

Значит, на нашем столе каждый игральный кубик встречается по 24 раза. Соответственно, число различных игральных кубиков равно 720:24=30.

Подстановки 1. Ходим по циклу

листок 1Д / октябрь 2004

& Это первый листок из серии, в которой изучаются сначала подста­новки, а потом и абстрактные группы.

Большинство задач представляют собой несложные упражения на понимание того, что такое произведение подстановок. Содержатель­ные вопросы про подстановки отложены до листка «Подстановки 2» (и, частично, листков по теории групп). Стоит, однако, отметить две важные задачи: задачу 7, в которой (как будет видно позже) доказыва­ется, что подстановки образуют группу, и (дополнительную) задачу 9, что-то объясняющую про то, как могут быть устроены перестановки.