Таблицы Брадиса

Получили 9 3 9632 3.

Получили 9 3 9632 3.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Соответственно, основные навыки, которые должны получить школьники при решении этого листка, — 1) перечисление всех вариантов в разумном порядке; 2) понимание того, какие «записи» соответствуют одному и тому же объекту (именно поэтому в листке много похожих, но различных задач), и умение это учесть при подсчете.

Другая полезная (отнюдь не только в комбинаторике) идея, кото­рой можно научить на материале этого листка, состоит в том, что, прежде чем решать задачу для произвольного (или очень большого) п, полезно сначала разобраться со случаем небольших п. Замеченные при этом закономерности (даже если они не доказаны) часто суще­ственно упрощают решение задачи.

Задача 1. Сколько существует «слов» [15]: а) из двух; б) из трех букв русского языка?

Решение. а) Попробуем для начала решить ту же задачу, но с алфа­витом, состоящим всего из трех букв — а, б, в. Здесь мы можем явно выписать все слова, состоящие из двух букв: аа, аб, ав, ба, бб, бв, ва, вб, вв. Получили 9 = 3 ■ 3.

В общем случае подсчет числа таких слов будем вести следующим образом: сначала посчитаем число слов, которые начинаются с буквы «а», затем — число слов, начинающихся с буквы «б» и так далее. Со-

Комбинаторика 1

вершенно очевидно, что таким образом мы посчитаем каждое «слово» по разу.

Заметим, что двухбуквенных слов, начинающихся на букву «а», будет ровно столько же, сколько есть букв в алфавите. Слов, начина­ющихся на букву «б», будет столько же. И так со всеми буквами.

В нашей задаче слов, начинающихся с буквы «а», будет 33. Столько же будет слов, начинающихся с буквы «б», и так далее. Значит, всего слов, состоящих из двух букв, будет 33 ■ 33 = 1089.