Таблицы Брадиса

Поскольку Ь симметрия, Ь Ь1.

Поскольку Ь симметрия, Ь Ь1.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

б) Пусть А, В, С, В — последовательно идущие вершины квадрата. Мы хотим описать все движения /, оставляющие квадрат на месте. Ясно, что по соседству с вершиной /(А) находятся /(В) и /(В). Об­разы вершин А, В и В полностью задают движение /. Рассмотрим поворот g вокруг центра квадрата на угол, кратный 90°, переводя­щий /(А) обратно в А. Тогда g(f (А)) = А, а для вершин В и В есть две возможности: либо g(f (В)) = В и g(f (В)) = В, либо наоборот, g(f (В)) = В, g(f (В)) = В.

В первом случае движение g ° f имеет три неподвижные точ­ки А, В, В, и следовательно, тождественно. Значит, и отображение f = g—1 являлось поворотом на угол, кратный 90°. Во втором случае рассмотрим симметрию Ь относительно диагонали АС. Тогда движе­ние Ь ° g ° f также имеет три неподвижные точки и, как следствие, тривиально. Поэтому движение f является композицией симметрии относительно АС и поворота вокруг центра квадрата на угол, крат­ный 90°.

Опишем теперь получившуюся группу. Пусть а — поворот вокруг центра квадрата на 90° против часовой стрелки. Тогда все повороты, оставляющие квадрат на месте, имеют вид а, а2, а3, а4 (тождествен­ное преобразование). Пусть, далее, Ь — симметрия относительно пря­мой АС. Согласно доказанному мы знаем, что любой элемент группы симметрий представляется либо в виде ак, либо в виде Ь ■ ак для к = 0,. . . , 3. Поэтому в группе симметрий квадрата всего 8 элементов. Для полного ответа осталось полностью описать умножение в этой группе, то есть найти, чему равно а ■ Ь. Если аЬ = ак для какого- то к, то тогда Ь = ак—1, что неверно, так как симметрия и пово­рот— разные движения. Поэтому аЬ = Ьак. Осталось найти это к. аЬ = Ьак ^ ак = Ь—1 аЬ. Поскольку Ь — симметрия, Ь = Ь—1. Теперь вычислим композицию Ь ° а ° Ь. Прямой проверкой получаем, что это поворот на 90° по часовой стрелке, то есть а3. Значит, аЬ = Ьа3.