Таблицы Брадиса

Предположим, что утверждение задачи верно

Предположим, что утверждение задачи верно

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Шаг индукции. Предположим, что утверждение задачи верно для любых п прямых. То есть как бы мы ни провели п прямых, мы мо­жем раскрасить части, на которые они делят плоскость, так, чтобы соседние части были окрашены в разные цвета.

Рассмотрим плоскость, на которой проведена п + 1 прямая. Вы­кинем любую из них и покрасим части, на которые делят плоскость оставшиеся прямые, в два цвета так, чтобы соседние части были окрашены в разные цвета (это мы можем сделать по предположению индукции). Теперь дорисуем выкинутую прямую и сделаем следую­щее: все точки, которые лежат с одной стороны от этой прямой, мы оставляем как есть, а у всех, которые лежат с другой стороны, меняем цвет на противоположный. Нетрудно видеть, что таким образом мы получаем раскраску плоскости с (п + 1)-й прямой, удовлетворяющую условию задачи.

Ш На примере этой в общем-то несложной задачи мы показываем, как работают с принципом математической индукции:

1)   проверяют утверждение задачи для конкретного п (обычно, но „ не обязательно, для п = 1),  ^

2)   предполагают, что утверждение задачи верно для некоторого п                          Ц' (это называют предположением индукции), и, используя его, доказы­вают утверждение задачи для п + 1.

Задача 6. Докажите по индукции, что:

->11 I п(п +!) «Л 1 I I 2 п(п + !)(2п +1)

а) 1 + ... +п=-------- ; 6)1 + ... + П =-------------- ;

2 6

Л 1 I I 3 п2(п + 1)2

В) 1 + ... + П =------------ .

Решение. а) База индукции. Рассмотрим случай п = 1. Утверждение задачи примет вид 1 = 1 — очевидно верное равенство.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение задачи выполнено для некоторого п, то есть 1 +... + п = + . Докажем, что утвержде­ние задачи выполнено для п + 1, то есть