Таблицы Брадиса

При доказательстве мы будем пользоваться

При доказательстве мы будем пользоваться

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 17. Найдите у (р^ ■... ■ р^)•

Решение. По уже доказанному

у (рк1 ■. ■ рк-) = у р1) ■. ■ у (рп-) = р1—ркі1—1) ■. ■ р*—ру-1)-

® Перепишем этот ответ в другой форме. Пусть п = р\1 ■■ р1^11, то­гда <р(п) = п(1——-V где р1г р2, ■■■, рп — все различные

V       Р1^         V Рп^

простые делители п.

Задача 18 (теорема Эйлера). Докажите, что для любого числа а, взаимно простого с n, выполнено равенство av(n) = 1 (mod n).

Решение. Вспомним, что ip(n) равно порядку группы (Z/nZ)x. Но по теореме Лагранжа, если а є (Z/nZ)x, то ord а делит |(Z/nZ)x|. Атак как aordа = 1 (mod n), имеем a|(z/nz)x| = 1 (mod n).

Задача 19*. Опишите группы симметрий: а) правильного треуголь­ника; б) квадрата; в) правильного n-угольника (группа диэдра Dn).

Решение. Группа симметрий данной фигуры — это группа, состоящая из движений плоскости, переводящих фигуру в себя. При доказатель­стве мы будем пользоваться следующим фактом из курса планимет­рии: движение полностью задается образами трех точек, которые не лежат на одной прямой.

а)  Найдем теперь группу симметрий правильного треугольника. Очевидно, что при движении вершины переходят в вершины, поэтому все движение задается образами трех вершин, то есть подстанов-

кой из группы Б3. Значит, наша группа преобразований является подгруппой Б3. Докажем, что она совпадает со всей Б3. Для этого до­статочно проверить, что для любой перестановки вершин существует движение, которое ее реализует. Если перестановка меняет местами какие-то вершины А и В, оставляя на месте вершину С, то искомое движение — симметрия относительно биссектрисы угла АСВ. Если же перестановка переводит А в В, В в С, а С в А, то искомое движение — поворот относительно центра треугольника на 120°, переводящий А в В (любой такой поворот переводит либо А в В, либо наоборот).