Таблицы Брадиса

При нетривиальном действии на двуэлементом

При нетривиальном действии на двуэлементом

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

1  может переходить только в элемент, аннулируемый умножением на п (см. задачу 7), то есть в 0 при п = 2к + 1, 0 или 2 при п = 4к + 2, а при п = 4к — в любой.

Определение 7. Множество Оа = {^а | g е О} называется орбитой точки а е А.

Определение 8. Орбиты действия сопряжениями называются клас­сами сопряженнъж элементов.

Задача 26. Докажите, что отношение «точка а принадлежит орбите точки Ь» является отношением эквивалентности.

Решение. Рефлексивность: а е Оа, так как еа = а. Симметричность: если а е ОЬ, то а = gЬ; но тогда g—1 а = g—1 gЬ = еЬ = Ь, а значит, Ь е е Оа. Транзитивность: если а е ОЬ, Ь е Ос, то а = gЬ, Ь = g/c; значит, а = )с.

Задача 27. а) Опишите орбиты для действий из задачи 25.

б) Опишите орбиты действия левыми сдвигами.

в) Найдите классы сопряженных элементов в 53 и А3.

г)     Найдите классы сопряженных элементов в Бп.

д*) Найдите классы сопряженных элементов в Ап.

Решение. а) Единственной орбитой действия группы на одноэлемент­ном множестве является все это множество. Вообще, при тривиаль­ном действии (таком, что каждый элемент действует тождественным отображением) орбита каждой точки состоит из нее самой.

При нетривиальном действии на двуэлементом множестве имеет­ся ровно одна орбита, совпадающая со всем множеством.

У нетривиального действия циклической группы на трехэлемент­ном множестве одна орбита, если образующая действует циклом дли­ны 3, и две орбиты (состоящие из 2 и 1 элемента), если образующая действует транспозицией.

Для нетривиального действия из задачи 25г орбиты имеют вид {п, —п}.

б)  Единственной орбитой при действии группы на себе левыми сдвигами является вся группа. Орбитами при действии подгруппы на группе левыми сдвигами являются смежные классы относительно этой подгруппы.