Таблицы Брадиса

Пусть каждый элемент, не принадлежащий

Пусть каждый элемент, не принадлежащий

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Отметим, что множество {1} является элементом множества {{1}, 2, 3}, но не является его подмножеством, а множество {1,2} является элементом множества {{2, 1}} и является подмножеством множества {1, 2, 3}.

Задача 4. Докажите, что множество А тогда и только тогда является подмножеством множества В, когда каждый элемент, не принадле­жащий В, не принадлежит А.

Решение. Оборот «тогда и только тогда» означает два утверждения:

1)  (А с В) ^ (для любого х, не принадлежащего В, х не принадле­жит А),

2)   (для любого х, не принадлежащего В, х не принадлежит А) ^ ^ (А с В).

Продемонстрируем на примере этой задачи, как применяется метод доказательства «от противного». Чтобы доказать некоторое утверждение, мы предполагаем, что оно не выполняется и приходим к противоречию[14].

72                                    Теория множеств 1

1)  Докажем первое утверждение. Предположим противное, то есть что А с В, но существует некоторый элемент х, не принадлежащий В, но принадлежащий А. По определению того, что А с В мы знаем, что каждый элемент, принадлежащий А, должен принадлежать В. В частности, хеВ. Возникает противоречие. Значит, наше предпо­ложение было неверно, и нет элементов принадлежащих А, но не принадлежащих В.

2)   Теперь перейдём к доказательству второй части утверждения, которое мы тоже проведём от противного. Пусть каждый элемент, не принадлежащий В, не принадлежит А, но А с В. То, что А с В, озна­чает, что для множеств А и В не выполняется условие определения 2. То есть существует некоторый элемент х, принадлежащий А, но не принадлежащий В. Опять получили противоречие. Значит, и второе наше предположение было неверно.