Таблицы Брадиса

Пусть х множество его степеней.

Пусть х множество его степеней.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

порождается степенями какого-то одного, то есть, как говорят, яв­ляется циклической. Следовательно, группа из трех элементов также единственна.

б)  Перейдем теперь к случаю группы из четырех элементов. Мож­но перебрать возможные таблицы умножения, но удобнее воспользо­ваться задачей 10 листка. Для каждого неединичного элемента х из группы верно либо то, что х2 = е, либо то, что х4 = е и х2 = е. Если для всех элементов х2 = е, то эта группа изоморфна групппе Z/2Z ® Z/2Z пар остатков по модулю 2. Если же существует элемент х, такой что х2 = е, то группа изоморфна циклической группе Z/4Z (остатку к при этом изоморфизме соответствует хк).

в) Рассмотрим какой-нибудь неединичный элемент х нашей груп­пы О. Пусть (х} — множество его степеней. Заметим, что это под­группа, значит, ее порядок делит порядок группы. Но порядок группы равен 13, а это число простое. Значит, (х} совпадает со всей подгруп­пой, т. е. О = Z/13Z.

& Отметим, что при решении пункта в) было, в сущности, доказано, что любая группа простого порядка — циклическая.

Определение 5. Непустое подмножество Н группы О, замкнутое от­носительно операций ■ и взятия обратного элемента, называется подгруппой.

См. комментарий к задаче 1д.

Задача 6. Верно ли, что:

а) если Н — подгруппа О, то е еН;

б) если Н — подгруппа О, то Н — группа;

в) если К — подгруппа Н, а Н — подгруппа О, то К — подгруппа О;

г) объединение двух подгрупп — подгруппа;

д) пересечение двух подгрупп — подгруппа?

Решение. а) Конечно же, верно: если g е Н, то и g—1 е Н, а тогда

е = gg—1 е Н.

б)  Да, по предыдущему пункту.

в)  Верно, так как К замкнуто относительно операции и взятия обратного в Н, а следовательно, и в О.