Таблицы Брадиса

Пусть у нас есть три

Пусть у нас есть три

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Рефлексивность: а сопряжено с а с помощью тождественной под­становки.

Симметричность: Если а сопряжено с Ь с помощью с, то Ь сопря­жено с а с помощью с-1. Это ясно из геометрических соображений, но все же проверим формально. Действительно, если Ь = с-1 ■ а ■ с, то, домножив справа на с-1 и слева на с, получаем: а = с ■ Ь ■ с-1.

Транзитивность: Если а сопряжено с Ь с помощью с1, а Ь сопряжено с d с помощью с2, то а сопряжено с d с помощью с1 ■ с2. Проведем дока­зательство формально: Ь = с-1 ■ а ■ с1, d = с-1 ■ Ь ■ с2; теперь, подставив первое равенство во второе, имеем

d = с-1 ■ (с-1 ■ а ■ с1) ■ с2 = (с1 ■ с2)-1 ■ а ■ (с1 ■ с2).

То есть d и а сопряжены с помощью подстановки с3 = с1 ■ с2.

Ш Попробуем объяснить смысл этой формулы на примере. Пусть у нас есть три нумерации школьников: Ванина, Борина и Сережина, и пусть Ванина нумерация из Бориной получается с помощью с1, а Борина из Сережиной —с помощью с2. Тогда, чтобы узнать Сережину подстановку d, зная Ванину а, надо сначала получить Борины номера из Сережиных с помощью с2, потом Ванины из Бориных с помощью с1, потом применить Ванину подстановку, потом обратно получить Борины номера с помощью с-1, затем получить Сережины номера с помощью с-1.

б)  Указание. Из геометрических соображений видно, что следую­щие три утверждения эквивалентны:

1) подстановки а и Ь сопряжены;

2)  графы подстановок а и Ь изоморфны;

3)  подстановки а и Ь имеют одинаковую циклическую структуру (то есть один и тот же набор длин циклов в разложении в произведе­ние независимых циклов.)

Целые числа 3. Сравнения

листок 10 / февраль 2005