Таблицы Брадиса

Рассмотрим число 4 1.

Рассмотрим число 4 1.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 17. Какими правильными многоугольниками можно замо­стить плоскость?

Решение. Угол ап при вершине правильного n-угольника равен п —

—  2п/п. Если n-угольниками можно замостить плоскость, то 2п/к = = ап (где к — число многоугольников, сходящихся в одной вершине), то есть 2п = к(п — 2), причем п > 2, к > 2. Заметим, что к(п — 2) > 2п при п > 6 (так как к > 2). Осталось заметить, что п = 5 не является ре­шением, а правильными 3-, 4- и 6-угольниками действительно можно замостить плоскость.

Задача 18. Докажите, что имеется бесконечное количество простых чисел вида

а) 4п + 3; б*) 4п +1; в**) ап + b, где НОД(а, b) = 1.

Указание. Вспомните, как доказывалась бесконечность множества всех простых чисел.

Решение. а) Предположим, что это не так. Тогда обозначим за N произведение всех простых чисел вида 4п + 3. Рассмотрим число M = 4N — 1. Оно нечетно и не делится ни на одно из простых чисел вида 4п + 3, а значит, представляется в виде произведения простых чисел вида 4п + 1. Но тогда оно сравнимо с единицей по модулю 4, что неверно.

б) Предположим, что это не так. Тогда обозначим за N произ­ведение всех простых чисел вида 4п + 1 и рассмотрим число M = = (2N)2 + 1. Это число не может делиться на простое число p вида 4п + 3. Действительно, если p | (2N)2 + 1, то (2N)2 = —1 (mod p), а значит, (2JV)2(E2_:) = (—1)V = (—l)2n+1 = —1 (modp). Но no малой теореме Ферма (2JV)2(~:i = (2iV)p 1 = 1 (mod p). Получили противо­речие. Осталось заметить, что на простые числа вида 4п + 1 оно не делится по построению. Противоречие.

Ш Пункт в) представляет собой один очень изящный и сложный результат теории чисел — в любой арифметической прогрессии со взаимнопростыми основанием и разностью бесконечно много про­стых чисел.