Таблицы Брадиса

Рассмотрим п 1 прямую в

Рассмотрим п 1 прямую в

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

 

 

 

Получаются числа 2, 4, 7,11,16. Заметим, что эти числа удовлетво­ряют условию ап = ап-1 + п. Тогда (по задаче 6а) п прямых в общем

п(п + 1) .               ,-р

положении делят плоскость на —- + 1 часть. Теперь докажем по­лученное утверждение методом математической индукции.

База индукции. Для одной прямой получаем число частей 1 +1 = 2. Все верно.

Шаг индукции. Предположим, что любые п прямых в общем поло-

п(п + 1)

жении делят плоскость на —- +1 часть.

Рассмотрим п + 1 прямую в общем положении. Уберем одну из них. Оставшиеся п прямых по предположению индукции делят плос-

п(п + 1) , ..            „

—          1-1 часть. Так как никакие две прямые не параллель-

кость на

ны и никакие три не пересекаются в одной точке, убранная прямая делится п точками пересечения с остальными прямыми на два луча и п — 1 отрезок.

Заметим, что каждый из этих лучей и отрезков делит некоторую часть плоскости на две. То есть при добавлении одной прямой число частей увеличивается на п +1. Значит, п + 1 прямая делит плоскость на

п(п + 1) _|_ 2 _|_ ^п_|_ 2^ ________________  (п + 1)(п + 2) -у              (п + 1)((п + !) + !) -у

частей.

Задача 9. Докажите, что:

а) 65n+3 + 5п • 3^ делится на 17; б) п2т-1 +1 делится на п + 1; в*) 2?1 + 1 делится на 3п+1.

Решение. а) База индукции. 251+3 + 51 • 31+2 = 256 + 135 = 391 =

= 23 • 17.

Шаг индукции. Пусть утверждение справедливо для некоторого п, тогда докажем, что оно будет справедливо и для п + 1:

25(п+1)+3 + 5п+1-3(п+1)+2 = 25-25п+3 + 5-5п-3-Зп+2 =                                                                ф

= 32 • 25п+3 + 5 • 5П • 3 • Зп+2 = (15 +17) • 25п+3 + 15 • 5П • Зп+2 =