Таблицы Брадиса

Решение можно получить несложным перебором.

Решение можно получить несложным перебором.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Решение. а) Все подгруппы 2/42 суть 2/42, 2/22 и {0}. У 2/72 нет нетривиальных (то есть отличных от {0} и 2/72) подгрупп. Решение можно получить несложным перебором. См. также следующий пункт.

б)  Докажем, что произвольная подгруппа Н в Ж/пЖ порождена одним элементом. Рассмотрим в Н минимальный по модулю нену­левой элемент х. Предположим, что в Н имеется элемент у, не представимый в виде пх. Тогда (при помощи алгоритма Евклида) можно представить у в виде пх + г, где г — некоторый элемент Н, меньший (по модулю), чем х. Полученное противоречие доказывает, что Н — конечная группа, порожденная одним элементом, а значит, изоморфна Ж/тЖ.

Задача 7*. Сколько существует гомоморфизмов из группы: а) Ж;

б) Ж/рЖ в группу О?

Указание. Куда может переходить элемент 1?

Ответ. а) Нот(Ж, О) = О; б) Нот(Ж/рЖ, О) = (р)О := {х е О: хр = е}.

Решение. а) По задаче 3 любой гомоморфизм из Ж задается обра­зом единицы: /(п) = /(1)п (причем любое отображение единицы в

О  продолжается до гомоморфизма Ж ^ О), а потому гомоморфизм Нот(Ж, О) ^ О, / ^/(1) является биекцией (а значит, и изоморфиз­мом групп).

б)  Так же, как и в предыдущем пункте, каждый гомоморфизм из Ж/рЖ полностью задается образом единицы. Однако /(1) уже не может быть произвольным элементом О: так как (в Ж/рЖ) р ■ 1 = 0, должно выполняться равенство /(1)р = е. Это необходимое условие.

Убедимся, что оно является достаточным, то есть для любого g е (р) О имеется гомоморфизм с /(1) = g. Действительно, по предыду­щей задаче имеется / е Нот(Ж, О) с /(1) = g,a так как /(рп) = е, этот гомоморфизм «спускается» на Ж/рЖ (Ж/рЖ есть множество классов эквивалентности целых чисел; / принимает одинаковое значение на этих элементах этих классов.)