Таблицы Брадиса

С теорией коммутативных групп мы

С теорией коммутативных групп мы

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

з)  Если множество А — непустое, то Р(А) группой не является. Единицей в этом случае может быть только пустое множество, но тогда для остальных не выполняется аксиома об обратном элементе.

и)  Если множество А — непустое, то Р(А) группой не является. Единицей должно быть все множество А, но тогда не у всех элементов будет обратный.

к) Если множество А — непустое, то Р(А) группой не является. Единицей должно быть пустое множество, но тогда не выполняется аксиома об обратном элементе. Более того, в этом случае не выпол­няется и ассоциативность.

л) Да, в этом случае Р(А) всегда будет группой. Выполнение ассо­циативности следует из тождества А Д (В Д С) = (А Д В) Д С, которое доказывалось в листке «Теория множеств 1». Единицей группы будет пустое множество, а обратным к каждому элементу будет он сам. Эта структура на множестве подмножеств называется булевой алгеброй.

м) Является. Асооциативность выполняется, поскольку остатки от деления чисел (а + Ь) + с и а + (Ь + с) на п совпадают. Единица группы — это остаток 0, а обратный элемент к данному — это оста­ток, соответствующий противоположному числу. Этот пункт дает еще один важный пример группы — группы вычетов по модулю п.

Ш Группа вычетов — один из важнейших примеров коммутативной группы (где аЬ = Ьа для любых а и Ь), наряду с Ж. С теорией коммута­тивных групп мы уже фактически сталкивались в листках про целые числа и остатки.

н) Не является. Для остатка 0 мы не сможем найти обратный, поэтому не выполняется третья аксиома.

о) Нет, в этом случае не выполнена ассоциативность. п) Если п — простое, то является, в противном случае — нет. Рас­смотрим сначала случай, когда п — составное. Тогда найдутся числа