Таблицы Брадиса

Ь, то а с.

Ь, то а с.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 1. Целое число а делится на ненулевое целое число Ь, если существует такое целое число к, что а = кЬ. В этом случае Ь называется делителем а. Говорят также, что Ь делит а.

Обозначения: а. Ь или Ь | а.

Задача 1. Докажите, что для любого а:

а)  если а = 0, то а. а; б) а. 1; в) если а = 0, то 0. а.

Задача 2. Докажите, что для любых а, Ь, с, х, у:

а)  если а. Ь и Ь. с, то а. с;

б)  если а. Ь и а = 0, то |а| ^ |Ь|;

в)  если с = 0, то а. Ь ^ ас. Ьс;

г)  если а. Ь и с. Ь, то (а ± с). Ь;

д)  если а. Ь и с. Ь, то ах + су. Ь;

е)  если а. Ь и Ь. а, то а = Ь или а = -Ь;

ж)  если а. Ь, то ас. Ь;

з)  если а. Ь и с/Ь, то (а + с)/Ь;

и)  если аЬ = сд и а. с, то д. Ь.

Задача 3. Верно ли, что для любых а, Ь, с, д:

а)  если Ь | а и с | Ь, то с | а;

б)  если Ь | а и с | а, то Ьс | а;

в)  если с | аЬ, то с | а или с | Ь?

Задача 4. Сформулируйте признаки делимости (натурального чис­ла): а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 5; д) на 9; е) на 11.

Задача 5. Может ли число, сумма цифр которого равна 2004, быть полным квадратом?

Задача 6*. Число а в три раза больше суммы своих цифр. Докажите, что число а делится на 27.

Задача 7. Докажите, что: а) если а2 . (а + Ь), то Ь2 . (а + Ь); б*) если х + у + 2 = 0, то (х3 + у3 + г3 - 3хуг) . (х + у + г).

Задача 8. У каких натуральных чисел количество положительных де­лителей нечетно?

Определение 2. Число р > 1 называется простым, когда оно делится лишь на 1, -1, р и -р. Остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными.

Целые числа 1 Делимость целых чисел                                 43

Задача 9. Докажите, что простых чисел бесконечно много.

Задача 10. Докажите, что для любого n найдутся n подряд идущих составных чисел.

Задача 11*. Обозначим через n? произведение всех простых чисел, меньших n. Докажите, что при n > 3 выполняется неравенство n? > n.