Таблицы Брадиса

Ш Главное, что здесь нужно

Ш Главное, что здесь нужно

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 3. Множество называется пустым, если оно не содер­жит ни одного элемента. Обозначение: 0.

Задача 6. а) Докажите, что пустое множество является подмноже­ством любого множества.

б) Докажите, что пустое множество единственно.

Ш Здесь впервые приходится доказывать единственность объекта, обладающего некоторыми свойствами. Для этого нужно рассмотреть два таких объекта и доказать, что они равны между собой. В данном случае удобнее всего провести доказательство «от противного».

Решение. а) Пусть имеется некоторое множество А, подмножеством которого пустое множество не является. Это означает, что есть неко­торый элемент х, который принадлежит пустому множеству, но не принадлежит множеству А. Но такого элемента быть не может, так как в пустом множестве вообще нет элементов. Получили противо­речие. Значит, пустое множество является подмножеством любого множества.

б)  Убедимся в том, что любые два пустых множества равны меж­ду собой. Предположим, что у нас имеется два пустых множества: первое и второе. Но по предыдущему пункту каждое из них является подмножеством другого. А значит, по определению 1 они равны.

Задача 7. Сколько элементов у каждого из следующих множеств: 0, {1}, {1, 2}, {1, 2,3}, {{1}, 2,3}, {{1, 2}, 3}, {0}, {{2,1}} ?

Указание. Обратите особое внимание на множества с шестого по восьмое.

Ответ. 0,1, 2, 3, 3, 2,1,1.

Задача 8. а) Для множеств из предыдущей задачи выпишите все их подмножества.

б) Сколько подмножеств у множества из одного элемента? из двух элементов? трех элементов?

Ш Главное, что здесь нужно понимать — что число подмножеств за­висит только от числа элементов (и не зависит от их природы). Точная формула для числа подмножеств появляется позднее, хотя можно ее вывести и сейчас.