Таблицы Брадиса

Следовательно, хе АВ П АС.

Следовательно, хе АВ П АС.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Указание. Чтобы доказать, что одно множество равно другому, нужно воспользоваться определением равенства множеств и показать, что любой элемент первого лежит во втором и любой элемент второго множества лежит в первом.

Ш Во всех пунктах проверка не очень сложна. Надо лишь аккурат­но записать, что означает, что х принадлежит левому множеству, и

76                                    Теория множеств 1

что означает, что х принадлежит правому множеству. Очень полезно предварительно нарисовать картинки, изобразив разные множества цветами или штриховкой. Такие картинки называют диаграммами Эйлера—Венна или кругами Эйлера.

Решение. Разберем для примера доказательства пунктов в) иг).

 

в)  хєА п (В и С) означает, что х принадлежит множеству А и по крайней мере одному из множеств В и С. Пусть, для определенности, х є С (случай х є В аналогичен) .Тогда хєА и хєС ,а значит, х є А п С, откуда хє (А пВ) и (А п С).

Если же х є (А п В) и (А п С), то это означает, что х принадлежит по крайней мере одному из множеств (А п В) или (А п С). Пусть, для определенности, х є (А п В). Это означает, что хєА и х є В, следовательно, хєА и хєВ и С, откуда хєА п (В и С).

Второе равенство доказывается аналогично.

 

г)  хеА \ (В и С) означает, что х принадлежит множеству А, но не принадлежит объединению множеств В и С. Поскольку элемент х принадлежит множеству А, но не принадлежит В, элемент х при­надлежит множеству А \ В. Аналогично, хеА \ С. Следовательно, хе (А\В) П (А\С).