Таблицы Брадиса

Сравнения Решение.

Сравнения Решение.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

186                            Целые числа 3. Сравнения

Решение. а) Допустим, это уравнение имеет ненулевое целочислен­ное решение. Разделив х, у и z на их НОД, получим решение, для кото­рого НОД(х, у, z) = 1. В силу предыдущей задачи, квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4. С другой стороны, квадрат четного числа имеет вид (2n)2 = 4n2, а значит, делится на 4. Итак, числа х2, у2 и z2 равны 0 или 1 по модулю 4. Следовательно, левая часть равна 0, 1 или 2 по модулю 4, а правая — 0 или 3, откуда обе части делятся на 4. Но левая часть может делиться на 4 только при четных х и у. Таким образом, числа х, у и z четны, что противоре­чит условию НОД(х, у, z) = 1. Полученное противоречие доказывает отсутствие ненулевых целочисленных решений данного уравнения.

б)  Доказательство аналогично.

Задача 9*. Докажите, что существует бесконечно много натураль­ных чисел, не представимых в виде суммы трех а) квадратов; б) кубов натуральных чисел.

Решение. а) Это непосредственно следует из предыдущей задачи.

б)  Пусть K(N) —количество чисел от 1 до N3, представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел. Оценим общее число представлений чисел от 1 до N3 в виде суммы трех кубов натуральных чисел (представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаем разными).

Заметим, что для каждого представления, в котором не все сла­гаемые равны между собой, найдется другое представление того же числа (например, отличающееся только порядком слагаемых). Сле­довательно, каждому из как минимум K(N) — N чисел соответствует как минимум по два представления. Значит, общее число таких пред­ставлений не меньше 2(K (N) — N).

Но каждое слагаемое в таком представлении — это куб числа от 1 до N, а значит, общее число таких представлений не превосходит N3. Таким образом, 2(K(N) — N) ^ N3, откуда K(N) ^ 0,5N3 + N, то есть не менее 0,5N3 — N чисел от 1 до N3 не представимы в виде суммы трех кубов натуральных чисел. Осталось заметить, что при достаточно больших значениях числа N выражение 0,5N3 — N становится больше любого фиксированного натурального числа.