Таблицы Брадиса

Сумма двух нечетных чисел нечетной

Сумма двух нечетных чисел нечетной

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

& Объекты, в которых выполняются все аксиомы группы, кроме существования обратного, называются моноидами.

г) Да, является. Единичным элементом в этом случае будет тож­дественная подстановка. Группа Бп —это первый пример некомму­тативной группы, то есть группы, в которой неверно, что всегда а ■ Ь = Ь ■ а. Пример: рассмотрим группу Б3, а в ней две подстанов­ки— транспозицию (12) и цикл (123). Тогда (12)(123) равно (23), а (123)(12) равно (13).

д) Да, четные числа являются группой. Все три аксиомы выполня­ются, это проверяется аналогично пункту а).

& Это первый пример подгруппы — подмножества, на котором структура группы наследуется от множества, его содержащего. В данном случае структура группы наследуется от целых чисел. Вообще, если подмножество Н группы О таково, что умножение его элементов друг на друга и взятие обратного не выводят за пределы Н, то эти операции задают на Н структуру группы.

е) В этом случае у нас даже не определена операция на множестве. Сумма двух нечетных чисел нечетной не является.

ж)  Это множество будет группой, если и только если в множестве X ровно один элемент. Во всех остальных случаях для отображений выполняется ассоциативность и есть единица — тождественное отоб­ражение, но не для всех отображений найдется обратное. Например, обратного нет для отображения всего множества в какой-то один элемент.

Если же рассматривать только биективные отображения, то полу­чается группа перестановок элементов этого множества (см. листки «Подстановки 1, 2»). Отметим, что аксиомы группы — это фактически свойства взаимно однозначных отображений множества в себя. А именно: существование тождественного и обратного отображений, а также ассоциативность взятия композиции.