Таблицы Брадиса

Таким образом, сопряжение любым элементом

Таким образом, сопряжение любым элементом

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 20. Докажите, что любая подгруппа Н группы О, для которой 2|Н| = |О|, нормальна.

Набросок решения. Из условия следует, что О/Н состоит ровно из двух классов — Н и О\Н.

Рассмотрим элемент К е Н. Ясно, что НК = Н. Так как умно­жение К на различные элементы дает различные результаты, (О\Н)К = ОК\НК = О\Н (вообще, если отображение / переводит различные элементы в различные, то /(А\В) = /(А)\/(В)). Таким образом, умножение на элемент из Н сохраняет класс элемента.

Пусть теперь х е О\Н. Тогда по ранее доказанному хН с Н, а так как по условию |хН| = |О\Н|, они совпадают. Наконец, (аналогично предыдущей части) (О\Н)х = Ох\Нх = О\(О\Н) = Н.

Таким образом, сопряжение любым элементом сохраняет класс, и, в частности, Н — нормальна.

Задача 21. Назовем произведением левых смежных классов аН и ЬН класс (аЬ)Н.

240                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

а) Докажите, что это определение корректно тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна.

б) Докажите, что в этом случае множество левых смежных классов образует группу относительно введенной операции.

Решение. а) Корректность означает (проверьте), что при замене а — ак, Ь — Ьк' класс (аЬ)Н сохраняется, то есть аЬ — аЬк". Получаем условие

У а, Ь е О Ук, к' е Н Зк" е Н: акЬк' = аЬк", которое равносильно (умножим на а—1 слева и к'—1 справа) условию

УЬ е О Ук е Н Зк1 е Н: кЬ = Ьк1г

то есть условию нормальности Н.

б)   Заметим, что множество смежных классов есть множество классов эквивалентности (по некоторому одному—см. задачу 18 — отношению) на О. Но ясно, что если «индуцированное» умножение на классах эквивалентности на группе корректно, то выполнение всех аксиом группы для него следует из их выполнения для О.