Таблицы Брадиса

Теория множеств 2. Отображения множеств

Теория множеств 2. Отображения множеств

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Ш Продолжая рассуждения, можно доказать следующую формулу включений-исключений.

Площадь объединения п многоугольников равна сумме площадей минус сумма попарных пересечений плюс сумма площадей тройных

пересечений и т. д.:

Б(Аг и ... и Ап) = Б(Аг) + ... + Б(Ап) - ^ Б(А^ П А^) +

1<11<12<П

+ ^ Б(А11 П А12 П А0 + •” + (-1)к XI Б(А;1 П ''' П А^-)’

К1!<12<1з<П                                            К1!<.<1к<П

причём, если отбросить слагаемые, начиная со слагаемого, идущего со знаком «+», получится оценка на площадь снизу, а если со знаком «-», то сверху.

Задача 16*. а) Можно ли записать пересечение двух множеств, ис­пользуя только разность и объединение?

б) Можно ли записать разность двух множеств, используя только объединение и пересечение?

Решение. а) Читателю предлагается проверить следующую формулу: А П В = (А и В) \ ((А \ В) и (В \ А)).

б)  Нет. Дело в том, что кроме множеств А, В, А П В и А и В при помощи наших операций ничего получить нельзя. Для доказатель­ства этого факта достаточно проверить, что в результате применения операций П и и к произвольной паре этих множеств никаких новых множеств мы не получим.

Другой способ решить задачу — заметить, что при помощи опера­ций объединения и пересечения из множеств А и В можно получить лишь множества, содержащие А П В.

Теория множеств 2. Отображения множеств

листок 2 / сентябрь 20 04

ШВ этом листке вводится понятие отображения. В задачах это по­нятие обсуждается на простых примерах, в которых его можно «по­трогать руками».

Отображение (функция, морфизм. —имеется очень много сход­ных по смыслу терминов) — одно из фундаментальных понятий ма­тематики. При помощи отображений можно не только изучать внут­ренние свойства объектов, но и сравнивать их, изучать связи между объектами. Впоследствии возникнут отображения, сохраняющие те или иные свойства множеств.