Таблицы Брадиса

Теперь возьмем другую корову В.

Теперь возьмем другую корову В.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Рассмотрим произвольное стадо из N + 1 коровы. Возьмем в нем произвольную корову А. Оставшиеся N коров одного цвета. Теперь возьмем другую корову В. Оставшиеся N коров также одного цвета. В частности, А одного цвета со всеми коровами, кроме А и В, и В одного (того же!) цвета со всеми коровами, кроме Аи В (см. рисунок). Значит, А, В, и вообще все коровы в стаде одного цвета.

 

в)  В стране несколько городов, некоторые пары которых соедине­ны дорогами, причем каждый город соединен хотя бы с одним другим. Докажем, что из любого города можно проехать в любой другой по дорогам. Будем доказывать индукцией по числу городов. База индук­ции для стран, состоящих из одного города, очевидна. Докажем шаг индукции. Возьмем какую-нибудь страну из п городов и добавим к ней еще один город. Между старыми городами можно проехать по старым дорогам, так что достаточно доказать, что из нового города можно проехать в любой из старых. По условию задачи из этого города ведет дорога в один из старых городов. Следовательно, из него можно доехать в один из старых городов, а оттуда уже добраться до любого другого. Итак, в новой стране тоже можно из любого города доехать до любого другого, и шаг индукции доказан.

Задача 8. На сколько частей делят плоскость п прямых в общем по­ложении? (Говорят, что прямые находятся в общем положении, если никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.)

Задача 9. Докажите, что:

а)  25п+3 + 5п ■ 3п+2 делится на 17; б) п2т-1 +1 делится на п +1; в*) 23" + 1 делится на 3п+1.

Задача 10 (неравенство Бернулли). Докажите, что если а > -1, то

(1 + а)п ^ 1 + па.