Таблицы Брадиса

Тождественное отображение изоморфизмом, конечно, является.

Тождественное отображение изоморфизмом, конечно, является.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

ж)  Является гомоморфизмом; вообще, взятие обратного x ^ x-1 является автоморфизмом для любой абелевой группы (действитель­но, из aba-1 b-1 = аа-1 bb-1 = е получаем, что а-1Ь-1 = (аЬ)-1.

& Коммутативность существенна, так как в общем случае (а^-1 = = b-1 а-1 (обратите внимание на порядок).

з) Является гомоморфизмом, но не изоморфизмом. Вообще, воз­ведение в степень является эндоморфизмом (то есть гомоморфизмом в себя) для любой абелевой группы. Например, (а^2 = abab = aabb = = а2^; отметим, что абелевость здесь существенна (контрпример в неабелевом случае дает группа подстановок). Доказательство общего случая удобно вести индукцией по степени.

и)  Чтобы f было гомоморфизмом, необходимо (и достаточно), чтобы для произвольных x, y е Sn выполнялось axay = axy; умножая обе части на y-1 справа и на а-1 слева получаем xa = x, а значит, а = е. Тождественное отображение изоморфизмом, конечно, является.

к) Является гомоморфизмом только при n = 2. Вообще, для про­извольной группы (а^-1 = b-1 а-1 (действительно, (b-1 а-1)(а^ = 1), поэтому (так как взятие обратного — биективная операция) взятие обратного является гомоморфизмом только для абелевых групп. В этом случае он будет изоморфизмом (так как сам является своим обратным).

л) Является гомоморфизмом (для произвольной группы). Действи­тельно,

f (x )f (y) = ^а^^а-1) = аxyа-1 = f (xy).

Этот гомоморфизм является изоморфизом, так как у него есть обрат­ное — гомоморфизм x ^ а-1 xa.

Автоморфизмы такого вида называют внутренними. Внутренние автоморфизмы образуют подгруппу Inn(G) в группе всех автоморфиз­мов Aut(G) (см. задачу 5), причем имеется естественный сюръектив- ный гомоморфизм G ^ Inn(G).

м) Да, как было доказано листке «Подстановки 2». Изоморфизмом это отображение (при n = 2) не является.