Таблицы Брадиса

Условие ассоциативности означает, что в

Условие ассоциативности означает, что в

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Теория групп

листок 12 / март 2005

Соглашение. Все числа в этом листке предполагаются целыми, а число р —простым.

Определение 1. Бинарной операцией ■ на множестве М называется отображение из множества упорядоченных пар М2 = {(а, Ъ) | а е М, Ъ е М} в множество М, то есть способ поставить каждой паре эле­ментов множества М единственный элемент этого множества. Образ пары (а, Ъ) обозначается а ■ Ъ.

Определение 2. Пара (О, ■), состоящая из множества О и бинарной операции ■ на нем, называется группой, если выполнены следующие свойства:

1)   Уа, Ъ, с е О: а ■ (Ъ ■ с) = (а ■ Ъ) ■ с (ассоциативность);

2)   Зе е О У а е О: е ■ а = а ■ е = а (существование единицы);

3)   Уа е О За-1 е О: а-1 ■ а = а ■ а-1 = е (существование обратного). Если в О содержится конечное число элементов, то О называется конечной группой. Число элементов конечной группы О называется порядком группы О и обозначается |О|.

Соглашение. Условие ассоциативности означает, что в произведе­нии нескольких сомножителей расстановка скобок не влияет на от­вет. Поэтому впоследствии скобки в произведении нескольких сомно­жителей не ставятся.

Задача 1. Является ли группой:

а)  (г, +); б) (г, -); в) (М, ■); г) (Бп, •);

д)  множество четных чисел с операцией сложения;

е)  множество нечетных чисел с операцией сложения;

ж)  множество отображений /: X ^ X с операцией взятия компо­зиции;

з)  множество Р(А) всех подмножеств множества А с операцией и;

и)   (Р(А), п); к) (Р(А), \);

л) (Р(А), △), где А△ В = (А и В)\(А пВ);

м) (г/пг, +п), где г/пг = {0,1,..., п - 1}, а +п Ъ — остаток от де­ления числа а + Ъ на число п;