Таблицы Брадиса

В этом месте стоит напомнить,

В этом месте стоит напомнить,

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Решение. а) Это отношение является отношением эквивалентности (так как все возможные пары в него входят).

б)  Если М — непустое множество, то это отношение не будет ре­флексивным, но будет симметричным и транзитивным.

Ш Этот пункт обычно трудно дается школьникам. В этом месте стоит напомнить, что «все летающие крокодилы являются учениками этого класса.» И точно также для любых а, Ь є М, таких что а ~ Ь, выполнено Ь ~ а (потому что таких а и Ь не найдется!).

в) Отношение рефлексивно, так как всегда а | а, транзитивно (если а | Ь и Ь | с, то а | с), но не симметрично (2 14, но 4/2).

г) Это отношение эквивалентности.

д) Ясно, что это отношение рефлексивно и не симметрично. От­ношение транзитивно, так как если А с В и В с С, то тогда А с С.

е) Это отношение эквивалентности (при этом можно рассматри­вать остатки при делении на любое число).

Заметим, что можно это переформулировать следующим спосо­бом: «а ~ Ь тогда и только тогда, когда а и Ь оба четны или оба нечетны.»

Ш Это отношение эквивалентности в будущем понадобится при рас­смотрении остатков по модулю какого-либо числа.

ж) Это отношение эквивалентности (просто остатки при делении на 10).

з) Отношение эквивалентности.

и) Отношение эквивалентности.

к) Это отношение эквивалентности (для доказательства симмет­ричности надо воспользоваться тем, что отображение, обратное би­екции, тоже биекция; для транзитивности — тем, что композиция биекций — биекция).

л) Отношение, очевидно, не рефлексивно и не симметрично, но транзитивно.

м) Это отношение по определению рефлексивно, симметрично и транзитивно (если а и Ь принадлежат X и Ь и с принадлежат X, то и а и с принадлежат X).