Таблицы Брадиса

В каких строках треугольника Паскаля

В каких строках треугольника Паскаля

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

11 121 1331

14 6 4 1

Задача 1. Заиишите в виде ^ ^ числа предыдущей строки, ближай­шие к числу тп .

Задача 2. Выпишите первые 11 строк треугольника Паскаля.

Задача 3. Докажите, что =                                                                                                                    “СЗ”

Задача 4. Докажите, что число способов пройти из левого нижнего угла прямоугольника т х п в правый верхний, двигаясь только вверх

Ґ п + тЛ

или вправо по границам клеток, равно т .

Задача 5. В каких строках треугольника Паскаля все числа нечёт­ные?

Определение 2. Числом сочетаний из п пот называется количество т-элементных подмножеств множества из п элементов. Обозначе­ние: ст.

Задача 6. Найдите: а) с100, б) С^, в) С^, г) с4- Задача 7. Докажите, что: а) Ск = С^-к; б) ст = С^— + ст-1.

к

Задача 8. Докажите, что ^ ^ = Ск.

Л,

Задача 9. Раскройте скобки в выражении: а) (а + Ь)3; б) (а + Ь)4;

в)   (2а + 3Ь)4.

Задача 10 (бином Ньютона). а) Раскройте скобки в выражениях (а + Ь), (а + Ь)2, (а + Ь)3, (а + Ь)4 и выпишите результаты друг под другом. Заметьте, что коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

б)  Докажите, что

(а + Ь)п = И п (ап + И ^ (ап-1 Ь + ( 2 )ап-2Ь2 + ... + ( Щ )Ьп. Задача 11. Докажите, что:

а)  И 0) + И1) + ••• + (п) =2";

б>( 0)-(п)+■■■+(-1)п о=0.

Задача 12. Докажите, что ( " ] =

\к; к!(п - к)!

Задача 13. Докажите, что:

 

Задача 14. Каких подмножеств в множестве из 16 элементов больше: состоящих из более чем 8 элементов, из менее чем 8 элементов, из ровно 8 элементов?

Задача 15. Найдите число таких последовательностей длины 16 из нулей и единиц, в которых не менее чем три единицы.