Таблицы Брадиса

Важно отметить еще и то,

Важно отметить еще и то,

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 2. Пара (О, ■), состоящая из множества О и бинарной операции ■ на нем, называется группой, если выполнены следующие свойства:

1) Уа, Ь, с е О: а ■ (Ь ■ с) = (а ■ Ь) ■ с (ассоциативность);

2)  Зе е О У а е О: е ■ а = а ■ е = а (существование единицы);

3) У а е О За—1 е О: а—1 ■ а = а ■ а—1 = е (существование обратного). Если в О содержится конечное число элементов, то О называется конечной группой. Число элементов конечной группы О называется порядком группы О и обозначается |О|.

Ш Все три аксиомы в определении группы имеют прозрачный смысл. Ассоциативность — это фактически то, что в начальной школе назы­вают «сочетательным законом» сложения и умножения. Существова­ние единицы — это существование в группе нейтрального по опера­ции элемента, такого как ноль в группе целых чисел по сложению или тождественная подстановка в группе подстановок. Наконец, об­ратный элемент в группе — это, например, число, противоположное

данному в группе целых чисел по сложению или число, обратное данному, в группе ненулевых рациональных чисел по умножению.

Важно отметить еще и то, что операция в произвольной группе не обязана быть коммутативной (т. е. а ■ Ь не всегда равно Ь ■ а), хотя для сложения и умножения обычных чисел это верно.

Соглашение. Условие ассоциативности означает, что в произведе­нии нескольких сомножителей расстановка скобок не влияет на ответ. Поэтому впоследствии скобки в произведении нескольких со­множителей не ставятся.

Задача 1. Является ли группой:

а) (2, +); б) (2, —); в) (М, ■); г) ^, ■);

д) множество четных чисел с операцией сложения;

е) множество нечетных чисел с операцией сложения;