Таблицы Брадиса

Вообще говоря, это разные разбиения.

Вообще говоря, это разные разбиения.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

& Иными словами, множество элементов группы всегда можно как минимум двумя способами разбить на классы эквивалентности — на левые и правые смежные классы. Вообще говоря, это разные разбие­ния.

Решение. Докажем это утверждение для левых смежных классов (для правых доказательство аналогично). Если два левых смежных класса аН и ЬН имеют непустое пересечение, то это значит, что ак1 = Ьк2 для каких-то элементов к1, к2 е Н. Следовательно, Ь = ак1(Н2)—1 = ак, где к е Н. Пусть теперь х — произвольный элемент ЬН, тогда х = Ьк3 = = (ак)к3 = а(кк3), откуда заключаем, что х еаН. Поэтому классы аН и ЬН совпадают.

Задача 12. Найдите разбиение на левые и правые смежные классы группы по подгруппе: а) 2/22; б) Б4/А4; в) 53/((12)}.

Решение. а) Одним из смежных классов является сама подгруппа 22 (четные числа). Вторым же — все нечетные числа. Чтобы это увидеть,

можно взять какое-нибудь нечетное число (например, 1) и прибавить к нему все четные числа (нет разницы, справа или слева). Ясно, что таким образом можно получить все нечетные.

б)  Здесь также всего два смежных класса (правые и левые опять совпадают). Это доказывается аналогично: один из смежных клас­сов— А4, а второй — все нечетные подстановки — можно получить умножением произвольной транспозиции на все подстановки из А4.

в)  Здесь правых и левых смежных классов будет по три. Но они не будут совпадать между собой, как в предыдущих пунктах. Левые смежные классы: {(е), (12)}, {(13), (132)} и {(23), (123)}, а правые смежные классы — {(е), (12)}, {(13), (123)} и {(23), (132)}.

Задача 13 (теорема Лагранжа). Докажите, что для любой конечной группы О подрядок любой ее подгруппы Н делит порядок группы О (|О|. |Н|).

Решение. Из предыдущей задачи мы знаем, что группа О распадается на непересекающиеся подмножества—левые смежные классы по Н. Заметим теперь, что отображение к ^ ак, где а —любой элемент смежного класса, задает биекцию из Н в этот класс. Значит, в каждом подмножестве элементов столько же, сколько в подгруппе Н. Отсюда получаем, что |О| должен делиться на |Н|.