Таблицы Брадиса

Возьмм произвольный элемент х А.

Возьмм произвольный элемент х А.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

&   Эта внешне несложная задача является одновременно очень важ­ной и достаточно сложной для школьников. Как и в некоторых других задачах этого листка, школьникам неясно, что, собственно, надо до­казывать. Мы одновременно демонстрируем метод от противного, учимся писать отрицание к следствию и разбираемся, что значит «тогда и только тогда».

Задача 5. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С:

а) А с А; б) А с В и В с С ^ А с С; в) А = В ^ А с В и В с А.

Решение. а) Применяем определение: каждый элемент х, принадле­жащий множеству А, принадлежит множеству А, значит, А с А.

б)  Требуется доказать, что каждый элемент из множества А будет принадлежать множеству С. Возьмём произвольный элемент х А. Так как А с В, хеВ. Так как В с С, х е С. Таким образом, мы доказали, что произвольный элемент множества А принадлежит множеству С.

в)  Этот пункт содержит в себе две задачи. Надо доказать, во- первых, что из А с В и В с А следует, что А = В, а во-вторых, что из А = В следует, что А с В и В с А.

Докажем первое утверждение. Если А с В, то каждый элемент множества А принадлежит В, а из В с А следует, что каждый элемент множества В принадлежит А. Значит, по определению равенства мно­жеств, А = В.

Теперь докажем второе утверждение. Действительно, если А = В, то, по определению, каждый элемент множества А принадлежит также В, и каждый элемент множества В принадлежит А. Но это и означает, что А с В и В с А.

Ш В этой задаче возникает важный метод доказательства того, что некоторое утверждение верно для всех х, удовлетворяющих некото­рому условию. А именно, зафиксировав произвольный х, удовлетво­ряющий условию, провести рассуждения для «этого конкретного» х.