Таблицы Брадиса

Второй способ проверить, не является

Второй способ проверить, не является

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

ж) множество отображений /: X ^ X с операцией взятия компо­зиции;

з) множество Р(А) всех подмножеств множества А с операцией и;

и) (Р(А), п); к) (Р(А), \ );

л) (Р(А), А), где АА В = (АиВ)\(АпВ);

м) (2/п2, +п), где 2/п2 = {0,1,..., п — 1}, а +пЬ — остаток от де­ления числа а + Ь на число п;

н) (2/п2, -п), где а -пЬ — остаток от деления числа аЬ на число п; о) (М, ■), где а ■ Ь = аЬ; п) (2/п2\ {0}, -п);

р) ((2/п2)х, -п), где (2/п2)х = {а є 2/п21 НОД (а, п) = 1}?

& Если нужно выяснить, является ли множество А с некоторой операцией на нем группой, это можно сделать двумя способами. Первый — напрямую проверить все три аксиомы. Здесь нужно быть осторожными, поскольку операция, на первый взгляд нормальная, может быть вообще не определена или может выводить за преде­лы множества. Например, множество нечетных чисел с операцией «сложение» группой не является — сумма двух нечетных чисел не является нечетной.

Второй способ —проверить, не является ли данное множество А подгруппой уже имеющейся группы В с той же операцией. Типич­ный пример — подгруппа четных чисел в группе целых чисел. Про подгруппы будет более подробно сказано в одном из следующих ком­ментариев.

Решение. а) Да, здесь все три аксиомы выполнены. Роль единицы группы играет ноль в целых числах, а обратный элемент к каждому числу — это его противоположное.

200                                       Теория групп

б)  Не является; не выполнена самая первая аксиома — ассоциа­тивность. Например, 1 — (1 — 2) не равно (1 — 1) — 2.

в) Натуральные числа не являются группой ни по умножению, ни по сложению, так как не выполняется аксиома об обратном элементе. Если рассмотреть самое обычное натуральное число 2, то ни —2, ни 1/2 в натуральных числах не лежат. Хотя в случае умножения выполняются первые две аксиомы.