Таблицы Брадиса

Заметим, что условие задачи можно

Заметим, что условие задачи можно

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 5, 6, 7,1), (3, 4, 5, 6, 7,1, 2),

(4, 5, 6, 7,1,2,3), (5,6,7,1,2, 3,4), (6, 7,1, 2, 3, 4, 5),

(7,1, 2, 3, 4, 5, 6)

«склеятся» в одну и ту же карусель.

Ответ. а) 7! = 5040 (здесь п! = 1 ■ 2 ■... ■ (п — 1) ■ п); б) 5040/7 = 720;

в)  10■9■8■7■6■5■4=604800; г) 604800/10 = 60480.

Задача 7. Сколькими способами можно пройти из левого нижнего угла квадрата: а) 2 х 2; б) 3 х 3; в*) 5 х 5, двигаясь только вверх или вправо по сторонам клеток?

92                                    Комбинаторика 1

Решение. Решать задачу будем следующим образом: будем писать рядом с узлом решетки число, равное числу способов попасть из этой точки в правый верхний угол. Рядом с точками, лежащими на правой или верхней стороне квадрата, мы сразу можем написать единицы, потому что из каждой из них можно пройти в правый верхний угол, очевидно, единственным способом. А далее будем действовать так: если у нас есть такая точка, что правее и выше от нее лежат точки, рядом с которыми уже написаны числа, то рядом с этой точкой мы пишем сумму чисел, стоящих справа и сверху. Вопрос на засыпку: почему именно сумму и почему именно этих чисел? Как сумма этих чисел связана с числом способов пройти в правый верхний угол?

В итоге рано или поздно мы расставим числа рядом со всеми узлами решетки. В частности, рядом с левым нижним углом. Это и будет ответ.

Ответ. а) 6; б) 20; в) 252.

Задача 8. Сколькими способами можно представить числа 5, 10, 20

в виде суммы: а) двух; б) трех натуральных чисел?

Решение. Заметим, что условие задачи можно понимать по-разному. Вопрос в том, считаются ли, например, разложения 3 = 2 + 1 и 3 = = 1 + 2 одинаковыми. Разберем оба случая на примере разбиения числа 10 в сумму трех натуральных чисел.