Таблицы Брадиса

Заметим, что !

Заметим, что !

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 10. Множество Fix g = {а е А | ga = а} (другое обозна­чение: Ag) называется множеством неподвижных точек элемента g (вообще говоря, это множество зависит от действия, но когда ясно, о каком действии идет речь, наименование действия не указывается).

Задача 31. Укажите множества неподвижных точек всех элементов для действий группы Z/4Z а) левыми сдвигами; б) сопряжениями.

Решение. а) Для действия произвольной группы G на себе левыми сдвигами

Gg = |G’ g = е;

\{е}, g = e.

б) Так как Z/4Z коммутативна, ее действие на себе сопряжениями тривиально, а (Z/4Z)g = Z/4Z для любого g.

Задача 32. Укажите множества неподвижных точек всех элементов для действий группы S3 а) левыми сдвигами; б) сопряжениями.

Решение. а) См. предыдущую задачу.

246                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

б)  Заметим, что 0% для действия сопряжениями есть множество элементов, коммутирующих с Теперь нетрудно проверить, что

$з, а = е;

А3, а е Аз\{е}; {е, а}, а е 53\А3.

Задача 33 (лемма Бернсайда). Группа |0| действует на множест­ве X. Докажите, что число орбит этого действия равно

%е0

Указание. Перепишите сумму по элементам 0 в виде суммы по точ­кам X.

Решение. Пусть 0Х = {% е 0 | %х = х} — стабилизатор точки х. Заме­тим, что

X! 1р1х%1 = |{(%, х) е 0 х X | %х = х}| = ^ |0х|,

%е0                                                        хеХ

а следовательно (учитывая, что \СХ| • |Сх| = |С71),

%е0             хеХ          хеХ          АеX/0 аеА        АеХ/0

ш Типичной задачей комбинаторики является подсчет количества классов эквивалентности. Нередко эти классы эквивалентности яв­ляются орбитами при действии какой-то группы. Для решения таких задач естественно (попытаться) применить методы теории групп. Иллюстрирует эту идею следующая задача.