Таблицы Брадиса

£ >min*

£ >min*

Математика в экономике - Малыхин В.И.

4.   Оптимальный портфель при наличии безрисковых бумаг. Через несколько лет после этого исследования Марковица другой круп­нейший американский экономист Д. Тобин (Tobin D. — также впо­следствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой от нести государственные ценные бумаги), то решение задачи об опти­мальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть т0 — эффективность безрисковых бумаг, а х0 ~ ДОлЯ * питала, в них вложенного. Пусть т— средняя ожидаемая эффектив­ность и V, ст — вариация (дисперсия), CICO эффективности рис вой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено ( _, о часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего пор ф

ля тр = х0т0 + (1 - хй)тг, вариация портфеля равна V’ - (1 - х0)[18]Уг и риск портфеля = (1 - х0)а. (считается, что безрисковые бумаги не коррелированы с остальными). Исключая получим: т — т0 + + Gf(mr ~ то)/а,< т-е- ожидаемая эффективность портфеля ^линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле в этом случае. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до п.

п ■ .

£ ->min*

и=t

п

хота + Т,Х,^ = ^Р,                                                                           (1)

Iа 1

*o+ 2*,“ І- /«1

Изложим теперь окончательное решение этой задачи, получен­ное Д, Тобином. Пусть V — матрица ковариаций рисковых видов Ценных бумаг, Х = (*,), М — (т) — векторы-столбцы долей jc капи­тала, вкладываемых в /-й вид рисковых ценных бумаг, и ожидаемых эффективностей этого вида, /= 1, п. Пусть также I — я-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть единица. Тогда оптималь­ное значение долей х* есть