Таблицы Брадиса

Что же касается несме

Что же касается несме

Математика в экономике - Малыхин В.И.

Любая функция от выборки называется статистикой. Напри-

_                      П

мер, среднее арифметическое Хп — ( £ Х^/п есть статистика,

, /я [

Пусть © — некоторый параметр с.в, X. Мы хотим определить, хотя бы приближенно, значение этого параметра..С этой целью под­бираем статистику 0, которая, по нашему мнению, должна оцени­вать, может быть приближенно, параметр 0. Именно поэтому стати­стику, оценивающую параметр 0, обозначают 0.

Заметим, что любая статистика есть случайная величина, по­скольку она определена на выборках. Статистику 0, определенную на выборках объемом п, будем обозначать 0Н.

Разумеется, чтобы признать за статистикой 0 право быть оцен­кой параметра 0, статистика ©должна удовлетворять некоторым тре" бованиям. Эти требования таковы.

1)  Состоятельность: статистика-оценка 0, должна сходить­ся к оцениваемому параметру 0 при п <». Сходимость понимает

в вероятностном смысле: Д|0„ — ©[ > е) —> 0 при п -> °°.для Л10б° е > 0, Такая сходимость называется еще сходимостью по вероятное! ■

2)    Несмещенность: Л/[6()] ~ 0 для всех достаточно бо тих я.

Убедимся в том, что среднее арифметическое есть состоятель­ная и несмещенная оценка математического ожидания.

Пусть X — исследуемая с.в, с математическим ожиданием а.

_                   П

Тогда среднее арифметическое за п опытов есть -У = (£ Х,)/п.

_

Для доказательства состоятельности надо доказать, что Р(\Х -

-  а| > е) 0 при п —» « для любого е > 0. Но именно это утвержда­ется в теореме Чебышева (см. п. 2, раздел 17.1). Что же касается несме-

_                   п                        п

Ценности, то имеем: М[Х] ~ М[{ £ Х.)/п] = (£ М[Х,])/п = {па)/п = а.