Таблицы Брадиса

Действительно, если предположим противное, т.

Действительно, если предположим противное, т.

Математика в экономике - Малыхин В.И.

Найти набор товаров X- (х,,.... *„), максимизирующий функ­цию полезности и(х^ ..., х,) при выполнении бюджетного ограниче­ния РХ - р хх +... + рх < £2; по смыслу задачи все переменные при­нимают неотрицательные значения, т.е. х, ^0, 1= 1, п.

Рассматриваемую задачу можно сформулировать более кратко:

и(Л) —» тах, РХК 0, Х>0

или даже так:

й(Л)тах,                                                                  (1)

ХеВ{Р,<2).

Поскольку и(Х) — непрерывная функция своих аргументов, а бюджетное множество В ограничено и компактно, то и(X) достигает На множестве В своего максимума, т.е. решение задачи (1) существу- &т. Очевидно, что любая точка X максимума функции с(Х) лежит на границе <7 бюджетного множества. Действительно, если предполо­жим противное, т.е. что Ъ — точка максимума, но Ъ й <7, тогда

<    0, Однако тогда потребитель имеет неиспользованное количе­ство денег 0 — Р%, и на эти деньги он может купить какой-то допол­нительный набор товаров У, причем можно считать, что У > 0. Но тогда У<= в, однако и(Ъ + У) > и(Ъ) в силу того, что каждый товар Желателен. Получили противоречие с тем, что Ъ — точка максимума Функции с(Х) на бюджетном множестве.

Предложение 2. Если и(Х) строго вогнута, то решение зада­чи (1) единственно, т.е. существует только одна точка максимума Функции полезности на бюджетном множестве,

Напомним, что функция и(Х) называется строго вогнутой, если для любых X, У из того, что 0 < X < 1 следует, что и(Хх + (1 - Щ > >Хи(Х) + (1 - X)u(Y).

Доказательство. Предположим, что А и С—две точки максиму­ма, т.е. и(Х) < и(А) = н(С) для любой точки X множества В. Мы уже знаем, что точки А и С лежат на границе бюджетного множества, т.е. РА~ РС = Q. Рассмотрим точку Е ~А/2 + С/2. Видим, что РЕ- = Р(Л/2 + С/2) = Q, т.е. Е е В. В силу строгой вогнутости функции и(Х) имеем: и(Е) > и(А) = и(С). Получили противоречие с тем, что А и С есть точки максимума функции на бюджетном множестве.

Малыхин В.И. : Математика в экономике. Часть 1.