Таблицы Брадиса

Хх,Хп, где значение с.

Хх,Хп, где значение с.

Математика в экономике - Малыхин В.И.

Две остальные статистики исследуются аналогично,

3.    Метод максимального правдоподобия. Для применения этого метода нахождения оценки неизвестного параметра сначала состав­ляют функцию правдоподобия. Пусть X — исследуемая с.в,, закон распределения которой известен с точностью до некоторого пара­метра а. При проведении п независимых опытов получаем л-мер- нуго с.в. (Хх,Хп), где XI — значение с.в. X, принятое ею в 1-м опыте. Проведем п независимых опытов и получим выборку IV­

— (л,, ..., я;)). Если X — дискретная с,в,, то вероятность полученной выборки равна произведению вероятностей Р(Х= д,, а)... Р(Х- ап, а)) а если X — непрерывная с.в. с плотностьюЛх, а), то значение плот­ности и-мерной с.в. IV = (Х{, ..., X) в точке и> - (я,  а) равно

произведению плотностей Да,, а) .../(ян, а). Функция Да,,«„> «)< равная произведению вероятностей или плотностей (в зависимости от того, дискретная с.в. X или нет), называется функцией правдопо­добия.

Найдем теперь значение а0 параметра а, при котором функция правдоподобия имеет максимум. Это значение а0 и есть оценка на­стоящего значения параметра а.

Пример 2. Пусть X есть д.с.п. всего с двумя возможными значени­ями: единица с вероятностью р и нуль с вероятностью 1 -р. Покажем, что среднее по серии опытов есть оценкар по методу максимального правдопо­добия. Пусть в п опытах получены значения (а....................................... ав), из них к едини«.

Функция правдоподобия получается по формуле Бернулли и имеет вид. .Ца,,аи, р) = с;/(1 — р)"~к. Чтобы найти, при каком р эта функция имс» максимум, продифференцируем ее по р (считая а., .... а„ константами) приравняем потом производную к нулю. Получим крк~ '(1 - Р) " О' х (I - руп1 = о, что дает к( 1 — р) — (п — к)р = 0 и окончательно: р - */ ■ Но к/п н есть среднее По серии опытов.