Таблицы Брадиса

Найдем коэффициент корреляции для с.

Найдем коэффициент корреляции для с.

Математика в экономике - Малыхин В.И.

По свойствам математического ожидания имеем: М[(Х- тх)(Уг '«у)] = М[(ХУ- тхУ — Хтг + /луиу)] = М[ХУ\ - тхМЩ - туМ[Х\ +

*   т^пу= М[ХУ\ - Это выражение для корреляционного мо­мента иногда удобнее.

Некоррелированность слабее независимости, как утверждает бедующее предложение.

Предложение 1. Независимые с.в. некоррелированны.

Действительно, пусть с.в, X, У независимы, тогда по свойствам математического ожидания (см. п.2, раздел 16.1) М[ХУ\ — зна­Чит* кхг = ШУ\ - П1хту = 0.

Если корреляционный момент положителен, то с.в. называются п°лод1сшпельно коррелированными, если отрицателен — отрицательно Щрелированными.

Вместо корреляционного момента часто удобно использовать коэффициент корреляции = Ку./(с.оу), где <зх, а,, — средние квад­ратические отклонения с.в х У

Пример 5. Найдем коэффициент корреляции для с.в. X,Y\a при­мера 3. Ряды распределения компонент X, Y уже составлены (см. пример 3), По ним находим: тх = 0,4, Dx = 0,64, mY = 0,4, Dr = 0,24. Теперь найдем M[XY\. Для этого переберем все клетки таблицы, перемножим значения компонент Х3 Y и вероятности, записанной в этой клетке, и все эти произ­ведения сложим. Итак, М[ХУ\ ~ 0 + 0 + 0 + (-1) ■ Û.2 + 0 + 1 ■ 0,1 = -0,1. Теперь получаем: Kxr = M{XY\ -       -0,1 - 0,16 = -<^,26. Окончательно

получаем: kXY = A^/(CT/ry) = — 0,26/^0,64 • 0,24 * -0,66.

Оказывается, что коэффициент корреляции показывает степень линейной функциональной зависимости между с.в.

Предложение 2. Пусть Y = еХ + d, где е, d — константы, тогда-коэффициент корреляции с.в. X, Y равен единице со знаком коэффициента е. ■

Доказательство. Имеем: Кт = M[XY[ - m!piY — М[еХ2 + dX\ ~

-    тртх + d) — еМ[Хг] + dmx — ет2 — dmx = е(ЩХг] - т2х ) = eDx=

— <зх(еах). С другой стороны, Dr = e2Dx> тем самым | е|аг Следо­вательно, kXY =     - еау\е\о2х = +1, причем знак перед еди­ницей определяется знаком в,