Таблицы Брадиса

Несобственные интегралы есть пределы, поэтому

Несобственные интегралы есть пределы, поэтому

Математика в экономике - Малыхин В.И.

У Б. Найдите общее решение уравнения

у-гх-у, у-у/х = у?'

Задание III. А. Установите сходимость или расходимость рядов:

£ та„ -1). £ 1/(» я+т). £,<2 + нт-. ~4"+5)‘

И«=1                     Л-1                             Л = 1

Б. Найдите радиус сходимости степенного ряда £ пх".

Л = 1

2.  УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К ВАРИАНТУ № 1

Задание I. Решения. А. Первые три интеграла вычисляются не­посредственно, дадим только ответы: 1) -4; 2) 8; 3)' 2/5.

Четвертый интеграл вычисляется интегрированием по частям.

Имеем: х = и, sinxdx = dv и потому Jx sinxdx* (х • -cosx)| -

-     «Г(—cos jc)cbc — -к • cos и + Jcos xdx «= n + sin x [ = тс.

о                                                         0  ®

Для вычисления пятого интеграла используем подстановку

5   - 4х = z2, после чего получаем х = (5 — 4z})/4, dx = ~z • dz/2 и 1 1 1

потому Jxdx//5 —4х - J(5 — z2)/4(~zdz/(2z)) = J (г2 ~ 5)d*/8 = -1     з           з

= (е/24 ~ Sz/Z) [ = (1/24 - 5/8) - (27/24 - 15/8) =* 1/6. з

j

Б. Несобственные интегралы есть пределы, поэтому Jln*dx-

= lim Jin xdx. Вычислим Jln xdx по частям. Он равен *(1п х - О-

е->о £

Значит, xdx = х(1п х - 1)| = -1 - е(1п е - 1). Ясно, что при б О

это выражение стремится к —I. Поэтому исходный несобственный интеграл равен —1,

Для второго интеграла дадим только ответ: я,

В, См. пример 3 из раздела 11.1.

Ответ: 160/3,

По поводу вычисления массы тела см. пример 4 из раздела 11.1. Ответ: 1952/3 * 650,6.

Задание II. Решения. А. Уравнения решаются непосредственным интегрированием с последующим нахождением произвольной посто­янной. Приведём только ответы: 1) у = х2 + хУЗ + 1; 2) у = ъАх/4 + + 3/4; 3) у = —cos 2х/4 + 5/4.

Б. Оба уравнения являются линейными и решаются методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим только решение первого уравнения. Сначала решаем однородное уравнение / -¥у — 0. Его общее решение у — се"х, Теперь считаем с функцией от х, дифференцируем и подставляем в исходное уравнение. Получаем