Таблицы Брадиса

(і) Е„є^ ¥(а) =!;

(і) Е„є^ ¥(а) =!;

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

(i)   Azngn(0) = 1; (ii) Azng„(z) = 0 при z = 0; (iii) lim g„(z) = 0.

(интеграл сходится только при п ^ 3).

Следовательно, утверждение 1 неверно для Ъп при п ^ 3. Тогда из доказательства утверждения 1 вытекает

Следствие. Если п ^ 3 и к > 0, то не существует такой функции /: Ъп ^ М, что А%п / (г) ^ 0 для |г| > к и   /(г) = —ж.

Теперь рассмотрим так называемые ¥-субгармонические функции на Ъп при п = 1, 2.

Пусть ¥: Ъ ^ [0,1) — такая неотрицательная функция, что Т = {к € Ъ : ¥ (к) > 0} — конечное множество, состоящее из попарно взаимно про­стых чисел, £ ¥ (к) = 1 и ^ ке:р к¥ (к) = 0. Будем говорить, что / является ¥-субгармонической функцией на Ъ, если для каждого г € Ъ выполняется

/ (г) ^ ¥ (к)/(г + к).

Отметим, что это неравенство справедливо для каждой субгармонической функции / в Ъ (т. е. такой функции, что 2/(г) ^ /(г + 1) + /(г — 1)), так как нетрудно показать, что субгармоническая функция на Ъ удовлетворяет неравенству Йенсена и даже неравенству Фукса — см. [1] для выпуклых функций в интервале).

Далее, пусть ¥: Ъ2 ^ [0,1) — такая неотрицательная функция, что Т = {а € Ъ2 : ¥ (а) > 0} — конечное множество, для которого выполнены следующие свойства:

(і) Е„є^ ¥(а) =!;

(ii)   если а є Т, то —а є Т и га є Т;

(iii)множество Т П {1т г = 0} непусто и состоит из попарно взаимно простых чисел.

Будем говорить, что / является ¥-субгармонической функций на 12, если для каждого г Є 1 выполнено

Следующее утверждение есть обобщение как утверждения 1, так и ре­зультата из [2].

Утверждение 2. а) Каждая F-субгармоническая функция f: Z ^ R, для которой

lim sup ^ 0,

z^^ |z|

является константой.