Таблицы Брадиса

(1) а = в + 7 < 2 ;

(1) а = в + 7 < 2 ;

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Итак, для построения треугольника АВС максимальной площади до­статочно построить касательную В;С к окружности ф.

Треугольник максимальной площади может быть охарактеризован ря­дом эквивалентных свойств, которые аналогичны свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1).

Теорема 1. Пусть АВС — неевклидов треугольник с заданными сто­ронами АС = Ь и АВ = с. Тогда следующие условия эквивалентны:

(0)   АВС имеет максимальную площадь;

(1) а = в + 7 < 2 ;

(2)   центр описанной окружности совпадает с серединой стороны ВС;

 

А

С

 

b с

(4)   cos a = th - • th - = const; v ’ 2 2

(5)   sh2 a = sh2 - + sh2 c . v 7 2 2 2

Доказательство. Для доказательства рассмотрим описанную выше конструкцию. По ключевой теореме т = zAB'C = — , где S — площадь треугольника ABC.

(0)   ^ (1) Если треугольник ABC имеет максимальную площадь, то zACB' = — , т. е. имеет место равенство т + a = — , которое равносиль­но (п — a — в — y) + 2a = п. Отсюда следует, что a = в + Y. Обратно, если выполнено равенство a = в + Y, то zACB' = т + a = — и площадь треугольника ABC максимальна.

(1)   ^ (2) См. рис. 3.

(0)    ^ (3) Применим евклидову теорему синусов к евклидовому тре­угольнику AB'C. Имеем ——Be— = —Ce , где через AB'P и ACe обозна-

sin ^A-CB sin т                           E

чены евклидовы длины евклидовых отрезков AB' и AC соответственно. Из­вестно (см. [6]), что евклидова длина l и неевклидова длина р отрезка, один из концов которого совпадает с центром модели Пуанкаре, связаны фор­мулой l = th Р , поэтому ACe = th - и ABg = —---------------------------- = —с . Подставляя