Таблицы Брадиса

2                                        5

2                                        5

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

О  важности теоремы Безиковича говорит и такой факт. Эту теорему переоткрыл Н. С. Ландкоф [5,6]. В [6] это лемма 3.2, глава 3, §4. Ландкоф использовал доказанный им результат для оценок потенциалов.

Гусман в своей книге приводит и такой вариант теоремы Безиковича (теорема 1.2).

Пусть А — непустое ограниченное множество в М”, г(х) функция, определённая на А со значениями на множестве {2к : к = 0, ±1, ±2,... }. Пусть Q(x,r(x)), х £ А, — некоторое семейство кубов. Тогда из этого семейства можно выделить конечную или бесконечную последователь­ность кубов Qm, т ^ ш, ш ^ то, такую, что: предлагается провести самому (речь идёт об аналоге свойства 5 из приво­димого ниже доказательства).

Наше доказательство теоремы 2 — это дополнение к доказательству теоремы 1.1 в [4]. Оно частично совпадает с этим доказательством. Полу­чение конкретных постоянных 4” и 12” + 1 в теореме 2 достигается за счёт применения леммы 1. Точное значение постоянных и в теореме 1.1 из [4] неизвестно. Теорема 2 даёт оценки сверху: ^ 4”, ^ 12” + 1.

Доказательство теоремы 2. Обозначим Д0 = вир{г(х) : х Є А}. Если До = то, то утверждение теоремы тривиально. В этом случае най­дётся куб Q(x,r(x)), который покрывает множество А. Поэтому в даль­нейшем будем считать, что До < то.

Далее по индукции строим следующую последовательность кубов Qm = Q(xm,г(хт)). В качестве куба Q1 = Q(x1,r(x1)) берём такой куб,

что г(хі) > - До. Если куб Ql покрывает А, то построение последователь­ности кубов уже закончено. В этом случае последовательность Qm состоит из одного члена. Если же куб Ql не покрывает А, то обозначим Аі = А^і, Ді = 8ир{г(х) : х Є А1}. Далее в качестве куба Q2 = Q(x2,r(x2)) берём такой куб, что х2 Є Аі, г(х2) > -Ді.

2                                        5