Таблицы Брадиса

2. Улучшение рулеток

2. Улучшение рулеток

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Вопрос о том, какого выигрыша можно добиться, если фиксировать только количество рулеток, гораздо более интересен. Его разбору посвя­щён остаток статьи. Для его исследования мы сначала выделим некоторый класс оптимальных конфигураций.

2. Улучшение рулеток

Зафиксируем количество чисел на каждой рулетке и попытаемся найти вид, в котором следует искать оптимальную конфигурацию чисел.

Мы начнём с того, что опишем расположение чисел на рулетках на другом языке. Рассмотрим систему из п ^ 3 рулеток с выигрышем а. Запишем числа на рулетках в таблицу, числа на і-й рулетке — в і-ю строку по возрастанию (будем считать, что таблица склеена в цилиндр: её низ склеен с верхом, т. е. следующая строка за последней — первая). Построим ориентированный граф: соединим число а из і-й строки стрелкой с числом Ь из (і + 1)-й строки, если а > Ь. Тогда вероятность того, что і-я строка выигрывает у (і + 1)-й, равно количеству стрелок между этими строками, делённому на произведение количеств чисел в этих строках.

Таким образом, по графу можно восстановить все интересующие нас вероятности. Поэтому, если мы выясним, какие графы могут соответство­вать расположению чисел на рулетках, то можно забыть про числа в вер­шинах графа и рассматривать только соответствующие графы (заменив числа в строках на точки).

Для (возможно, совпадающих) вершин а, Ь будем писать а ^ Ь, если они стоят в одной строчке, причём а не правее Ь. Заметим, что рассматри­ваемые графы обладают дополнительным свойством: поскольку в каждой строке числа идут по возрастанию, то вместе с любой стрелкой а ^ Ь в графе должны присутствовать все стрелки вида с ^ !, где а ^ с и ! ^ Ь. Такие графы мы будем называть монотонными.