Таблицы Брадиса

Аналогично доказывается и обратная импликация.

Аналогично доказывается и обратная импликация.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

2                                    2                   ABe th ^

. S

sin 2

эти значения в предыдущее равенство, получаем sin zACB' = —-------- ------ .

th 2 th 2

Поэтому треугольник ABC имеет максимальную площадь тогда и только

•   S +ub.,c тогда, когда sin — = th - th - .

(0)   ^ (4) Рассмотрим евклидов треугольник AB'C. Если гиперболиче-

AC

ский треугольник ABC имеет максимальную площадь, то cos a = ——E =

abe

= th - th c . Обратно, если выполнено равенство cos a = th - th c , то ев- 2 2 2 2

клидов угол zACB' прямой и площадь неевклидова треугольника ABC максимальна.

(4) ^ (5) Для доказательства воспользуемся неевклидовой теоремой косинусов: ch a = ch b ch c — sh b sh c cos a. Подставляя значение cos a из

(4)     , после упрощений получаем (5). Аналогично доказывается и обратная импликация.  □

Упражнение 4. Используя аналог ключевой теоремы для сферы (см. упражнение 3), постройте сферический треугольник максимальной пло­щади (см. также [9]). Попробуйте также найти аналоги свойств (1)—(5) для этого треугольника.

Упражнение 5. Рассмотрим евклидов остроугольный треугольник АР^ и проведём в нем высоты РВ и ^С. Докажите, что неевклидов тре­угольник АВС имеет максимальную площадь

а)  в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости относительно прямой

PQ (рис. 4);

б) в модели Пуанкаре внутри окружности с центром в точке А, орто­гональной описанной окружности четырёхугольника РСВ^ (рис. 5).

Q

 

Рис. 4.

 

Рис. 5.