Таблицы Брадиса

Аналогично ВРсР 180 2в.

Аналогично ВРсР 180 2в.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Перевод А. А. Заславского.

Ра

Рис. 2.

 

Аналогично ^ВРсРі = 180° — 2в.

Теперь аналогично определим точки Ра и р,. Как показано выше, ^АРсАі = 180° — 2а = ^АР,Аі, значит РьРс — серединный перпендикуляр к ААі, следовательно, четырёхугольник АР,АіРс — ромб. Таким образом, ААі — серединный перпендикуляр к РЬРС. Аналогично ВВі и ССі — се­рединные перпендикуляры к РаРс и РаРь (рис. 2), т. е. все три прямые проходят через центр описанной окружности треугольника РаРьРс.

2.    Теорема Наполеона

Чтобы объяснить, как можно найти это решение, вспомним известную теорему.

Теорема Наполеона. Пусть АВС — произвольный треугольник, и равнобедренные треугольники дАВТс ~ дВСТа ~ дСАТ, с углами при вершинах, равными 120°, построены на его сторонах как на основаниях во внешнюю сторону. Тогда треугольник ТаТьТс правильный.

Утверждение теоремы остаётся верным для треугольников, построен­ных во внутреннюю сторону. Соответствующий правильный треугольник обозначим, как д£а£ь£с.

Заметим, что из этой конфигурации можно извлечь ряд фактов, каса­ющихся только треугольников ТаТьТс и £а£ь£с. Наиболее важный из этих фактов состоит в том, что прямые Та£а, Т^б, и Тс£с пересекаются в одной точке (центре описанной окружности дАВС)!

Формулируя подобные факты, мы можем исключить дАВС и говорить только о двух правильных треугольниках, подразумевая, разумеется, что существует д ABC, для которого они являются треугольниками Наполео­на. Читатель, знакомый с теоремой, может вывести необходимое условие для этого — треугольники должны быть противоположно ориентированы и иметь общий центр (центры треугольников TaTbTc и SaSbSc совпадают с центром тяжести д ABC). То, что это условие является и достаточным, вы­текает из следующей задачи, предложенной автором несколько лет назад.