Таблицы Брадиса

Белов 6.

Белов 6.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

(Фольклор)

4.   Докажите, что при любых натуральных n ^ l выполняется тожде­ство:

У —1— = У k ■ . . . ■ kl

I!                к\ ■ ... ■ Ц                 к\(к\ + &2) ■ ... ■ (&1 + ■ ■ ■ + Ц)

Е*=1                           Е*=1

к»^1                                                                 (И. Никокошев)

5.   Бесконечно Мудрый Таракан живёт на плоскости. Он близорук и потому видит Истину, только когда находится не более, чем в од­ном шаге от неё. Первоначально Таракан находится в п шагах от Истины. Когда Таракан делает шаг, друзья говорят говорят ему, приблизился он к Истине, или нет. а) Докажите, что, пользуясь этой и только этой информацией, Таракан может достичь Истины менее чем за п + 101п п шагов. б) Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего достичь Истины менее чем за п + 0.11п п шагов.

(А. Я. Белов)

6.   /(х, у) — бесконечно дифференцируемая функция от двух перемен­ных с локальным минимумом в нуле. Других критических точек у ней нет. Верно ли, что этот минимум глобальный? (Точка называет­ся критической, если в ней обе частные производные д//дх и д//ду обращаются в нуль.)          (Фольклор)

7.   Пусть д = 2к + 1 — натуральное число. Докажите, что в д-ичной системе счисления существует число, равное определителю д х д матрицы, составленной из цифр этого числа и их циклических пе­рестановок. Например, в десятичной системе счисления (д = 10)

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3^

 

(Н. И. Белухов)

8.   Дан дABC. ^1^1, С1 — точки касания сторон BC, АС, AB с впи­санной окружностью соответственно. Ао, Bo, Со — середины сторон. Обозначим точку пересечения прямых AoBo и А^1 через С'. Ана­логично определяются точки А' и B'. Докажите, что прямые АА', BB/ и СС' пересекаются в точке Фейербаха.          (Ф. Ивлев)