Таблицы Брадиса

Дан дМР и точка .

Дан дМР и точка .

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Задача 2. Пусть ABC и A1B1C1 — правильные, противоположно ори­ентированные треугольники с общим центром. Докажите, что прямые AAi,BBi и CCi пересекаются в одной точке.

Приведем изящное решение этой задачи, не использующее теорему На­полеона.

Решение. Пусть точка Q изогонально сопряжена Ai относительно дABC, Q' симметрична Q относительно биссектрисы zBAC. Тогда Q; лежит на всех прямых AAi, BBi и CCi.            □

Сходство двух задач очевидно, так что возникает вопрос: существует ли обобщение теоремы Наполеона, порождающее конфигурацию задачи 1, так же, как классическая теорема порождает конфигурацию задачи 2? Ответ положительный.

Обобщённая теорема Наполеона. Дан дМ№Р и точка T. Для произвольного треугольника ABC построим точки Ta, T и Tc такие, что дABTc — дМ^Т, дBCTa — дЖРТ и дCATb — дРМТ (все подобия сохраняют ориентацию). Тогда углы дТаТЬТс не зависят от выбора дABC. Более точно, пусть прямые МТ, NT и PT вторично пересекают описанную окружность дМЯР в точках Mi, Ni и Pi. Тогда треугольники TaTbTc и MiNiPi подобны и противоположно ориентированы.

Доказательство. Построим точки Ua, Ub и Uc такие, что

MNPT - ABUcTc - UaBCTa - AUbCTb.

Тогда дBTcUc — дBTaC, а потому дBUcC — дBTcTa. Аналогично дока­зывается, что дAUcC — дATcTb. Отсюда имеем

zTbTc Ta = ZTCAUC + z UcBTc = zTMP + zPNT =

= Z MiPiT + zTPiNi = zMiPiNi. Так же получаем zTaTbTc = zPiMiNi и zTcTaTb = zNiMiPi.                                                                                                          □

Возьмем теперь другой треугольник М;N'P' и точку Т' и, применив к дABC ту же конструкцию, получим другой треугольник таTbТС. Ка­кими должны быть необходимые и достаточные условия на треугольники

ТаТьТС и Т'ТЬТС, чтобы существовал дАВС, для которого они являются обобщёнными треугольниками Наполеона? Ответ даёт следующая