Таблицы Брадиса

Даны д и точка 0.

Даны д и точка 0.

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Задача 9. Даны дABC и точка 0. Пусть Я« такая точка прямой BC, что zA0Qa прямой. Точки Яь и ЯС определены аналогично. Докажите, что Я«,Яь и ЯС лежат на одной прямой.     ([2, №924], С. Маркелов)

Напомним также ещё одну задачу на эту тему:

Задача. Докажите, что, если в обозначениях задачи 9 О лежит на описанной окружности дАВС, то ^а^ь^с проходит через центр этой ок­ружности.   (Математика, 2/1998, А. Иванов)

Первое найденное автором решение этой задачи было связано с теоре­мой Гаусса - Боденмиллера.

Теорема Гаусса - Боденмиллера. Три окружности, диаметры ко­торых являются диагоналями полного четырёхсторонника, соосны (пере­секаются в двух точках).

Если обозначить полный четырёхугольник АВС^а^ь^С, а одну из об­щих точек окружностей О, получится в точности ситуация задачи 9. Те­перь, чтобы решить задачу, нужно показать, что, если даны три стороны АВ, ВС и СА, так, чтобы заданная точка плоскости оказалась общей точ­кой окружностей Гаусса - Боденмиллера. Так возникла идея рассмотреть описанные окружности треугольников АРа^а, ВР^ь и СРС^С в приведён­ном выше доказательстве. После этого уже нетрудно сделать обобщение, доказывающее теорему.

Теперь опишем более элементарный подход к теореме Сонда.

Второе доказательство. Пусть А^а,В^ь и СД^ — диаметры опи­санной окружности дАВС, а прямые АО, ВО и СО пересекают эту окруж­ность в точках Еа,Е и Ес соответственно. Обозначим точку пересечения прямых ^аЕа и Еь через С' и определим точки А1 и В' аналогично. Покажем, что дА^В'С1 гомотетичен дА^1С1 с центром О.

Действительно, при данном дАВС, условие теоремы определяет се­мейство гомотетичных треугольников А1В1С1. Следовательно, надо пока­зать, что это условие выполнено.