Таблицы Брадиса

Доказать, что существует строго монотонная

Доказать, что существует строго монотонная

Математическое просвещение - Винберг Э. Б

Ниже мы приводим задачи 2009 года и некоторые задачи прошлых лет. В конце статьи приведены решения задач. Подробную информацию о задачах, начиная с 1993 года, можно найти на сайте Студенческой мате­матической олимпиады МФТИ [4].

Задачи 2009 года

1   (1 курс). Пусть А, В — два непустых подмножества М, причём А П В = 0 и В П А = 0 (черта означает замыкание). Доказать, что най­дутся два непересекающихся открытых множества и, V С М такие, что и Э А, V ^ В.

2   (1 курс). Пусть А — бесконечное множество вещественных чисел. Доказать, что существует строго монотонная последовательность {ап}, все члены которой принадлежат А.

3   (все курсы). Пусть а, Ь, с, й — векторы в Мп, (■, ■) — стандартное скалярное произведение. Доказать, что

((а, с) + (Ь, й))2 + ((а, й) - (Ь, с))2 ^ (а2 + Ь2) ■ (с2 + й2).

4   (1 курс). Пусть аффинное отображение (композиция линейного опе­ратора и сдвига) а : Мп ^ Мп такое, что для некоторого х € Мп множество {ак(х)}^ен ограничено. Доказать, что а имеет неподвижную точку, то есть для некоторого у € Мп

а(у) = у.

5   (все курсы). 1) Пусть f: (0,1]2 ^ (0, +то) — функция, непрерыв­ная по совокупности переменных. Верно ли, что найдётся непрерывная функция g: (0,1] ^ (0, +то) такая, что g(x) = o(f (x,y)), x ^ +0 при любом у £ (0,1]?

2)  Пусть f: (0,1]2 ^ (0, +то) — функция, непрерывная по x при любом фиксированном у £ (0,1]. Верно ли, что найдётся непрерывная функция g: (0,1] ^ (0, +то) такая, что g(x) = o(f(x,y)), x ^ +0 при любом У £ (0,1]?

6   (1 курс). Пусть D С R2 — область с гладкой границей dD без са­мопересечений, G = D. Для каждой точки x £ dG найдётся круг B(x) радиуса R такой, что x £ B(x), B(x) П G = B(x) П dG.

1)  Доказать, что найдётся окрестность U множества G такая, что для каж­дой точки x £ U существует единственная точка n(x) £ G со свойством